Contoh Soal Pembagian Suku Banyak Beserta Jawabannya

May 30, 2026 by ADMIN 53 views

Contoh Soal Pembagian Suku Banyak: Panduan Lengkap

Guys, siapa di sini yang masih pusing tujuh keliling kalau ketemu soal pembagian suku banyak? Tenang, kalian nggak sendirian! Matematika memang kadang bikin kepala berasap, apalagi kalau materinya udah nyampe tingkat SMA, kayak pembagian suku banyak ini. Tapi, jangan khawatir! Di artikel ini, kita bakal bedah tuntas soal pembagian suku banyak, lengkap dengan contoh soal dan jawabannya. Dijamin setelah baca ini, kalian bakal jadi lebih pede buat ngerjain PR atau bahkan ngadepin ujian.

Apa Sih Pembagian Suku Banyak Itu?

Sebelum kita loncat ke contoh soalnya, yuk kita samain persepsi dulu. Pembagian suku banyak, atau sering juga disebut pembagian polinomial, adalah proses membagi sebuah suku banyak (polinomial) dengan suku banyak lain yang berderajat lebih rendah. Hasil dari pembagian ini biasanya berupa hasil bagi dan sisa pembagian. Konsepnya mirip banget sama pembagian bilangan biasa, cuma aja yang kita bagi itu bukan angka doang, tapi ekspresi matematika yang punya variabel dan pangkat.

Misalnya nih, kalau kita punya angka 25 dibagi 5, hasilnya kan 5 tanpa sisa. Tapi, kalau 26 dibagi 5, hasilnya 5 dengan sisa 1. Nah, di pembagian suku banyak juga gitu. Kita bakal dapetin hasil bagi (quotient) dan sisa bagi (remainder).

Secara umum, kalau kita punya suku banyak P(x) yang mau dibagi sama suku banyak D(x), terus dapetin hasil bagi Q(x) dan sisa S(x), maka bisa ditulis dalam rumus:

P(x) = D(x) . Q(x) + S(x)

Di sini, P(x) itu polinomial yang dibagi (dividend), D(x) itu polinomial pembagi (divisor), Q(x) itu hasil bagi (quotient), dan S(x) itu sisa pembagian (remainder). Penting banget buat diingat, derajat dari sisa pembagian (S(x)) harus lebih kecil dari derajat pembagi (D(x)). Kalau nggak, berarti pembagiannya belum selesai, guys!

Metode Pembagian Suku Banyak

Ada beberapa cara nih buat ngerjain pembagian suku banyak. Yang paling umum dan sering diajarin di sekolah itu ada dua:

Metode Pembagian Bersusun (Porogapit): Ini metode yang paling mirip sama pembagian bilangan biasa. Kita bakal nulis soalnya kayak lagi mau ngedesain rumah pakai porogapit. Caranya agak panjang tapi pasti banget hasilnya bener kalau ngikutin langkahnya.
Metode Horner (Skema Horner): Metode ini lebih cepet dan ringkas, cocok banget buat kalian yang suka efisiensi. Tapi, metode Horner ini punya syarat, yaitu pembaginya harus berbentuk (x - k) atau (ax - b). Kalau pembaginya beda, nanti ada trik khususnya lagi.

Nggak usah bingung dulu, nanti kita bakal bahas contoh soalnya pakai kedua metode ini biar kalian makin paham.

Contoh Soal Pembagian Suku Banyak Menggunakan Metode Bersusun

Oke, guys, mari kita mulai petualangan kita dengan metode pembagian bersusun. Metode ini emang kelihatan ribet di awal, tapi kalau kalian udah terbiasa, dijamin bakal lancar jaya. Kita ambil contoh soal yang paling klasik ya, biar gampang dicerna.

Contoh Soal 1:

Bagi suku banyak $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$ dengan suku banyak $D(x) = x + 2$ .

Langkah-langkah Pengerjaan dengan Metode Bersusun:

Siapkan 'Porogapit'nya: Tulis soalnya dalam format pembagian bersusun. Polinomial yang dibagi (dividend) ditaruh di dalam, sementara pembagi (divisor) di luar.
```
    _____________
x + 2 | 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3
```
Bagi Suku Pertama Dividend dengan Suku Pertama Divisor: Ambil suku pertama dari $P(x)$ yaitu $2x^3$ , lalu bagi dengan suku pertama dari $D(x)$ yaitu $x$ . Hasilnya adalah $2x^3 / x = 2x^2$ . Tulis hasil ini di atas, sejajar dengan suku $x^2$ dari dividend.
```
      2x^2
    _____________
x + 2 | 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3
```
Kalikan Hasil Pembagian dengan Divisor: Sekarang, hasil $2x^2$ tadi dikalikan dengan seluruh isi $D(x)$ , yaitu $x+2$ . Jadi, $2x^2 * (x + 2) = 2x^3 + 4x^2$ . Tulis hasilnya di bawah dividend, sejajarkan suku-suku yang sejenis.
```
      2x^2
    _____________
x + 2 | 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3
      2x^3 + 4x^2
```
Kurangkan: Kurangkan baris dividend dengan hasil perkalian tadi. Ingat, $2x^3 - 2x^3 = 0$ (ini yang kita mau!), dan $5x^2 - 4x^2 = x^2$ . Turunkan suku selanjutnya dari dividend (-4x).
```
      2x^2
    _____________
x + 2 | 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3
    -(2x^3 + 4x^2)
    _____________
          x^2 - 4x
```
Ulangi Proses: Sekarang, kita punya suku baru $x^2 - 4x$ . Ulangi langkah 2-4. Bagi suku pertama dari suku baru ini ( $x^2$ ) dengan suku pertama $D(x)$ ( $x$ ). Hasilnya adalah $x^2 / x = x$ . Tulis +x di atas.
```
      2x^2 + x
    _____________
x + 2 | 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3
    -(2x^3 + 4x^2)
    _____________
          x^2 - 4x
```
Kalikan hasil baru ini ( $x$ ) dengan $D(x)$ : $x * (x + 2) = x^2 + 2x$ . Tulis di bawah dan kurangkan.
```
      2x^2 + x
    _____________
x + 2 | 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3
    -(2x^3 + 4x^2)
    _____________
          x^2 - 4x
        -(x^2 + 2x)
        ___________
              -6x
```

Terus Ulangi Sampai Selesai: Ulangi lagi. Bagi suku pertama dari hasil pengurangan terakhir (-6x) dengan suku pertama $D(x)$ ( $x$ ). Hasilnya adalah $-6x / x = -6$ . Tulis -6 di atas.

      2x^2 + x - 6
    _____________
x + 2 | 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3
    -(2x^3 + 4x^2)
    _____________
          x^2 - 4x
        -(x^2 + 2x)
        ___________
              -6x + 3

Kalikan hasil baru ini (-6) dengan $D(x)$ : $-6 * (x + 2) = -6x - 12$ . Tulis di bawah dan kurangkan. Jangan lupa turunkan suku terakhir dari dividend (+3).

      2x^2 + x - 6
    _____________
x + 2 | 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3
    -(2x^3 + 4x^2)
    _____________
          x^2 - 4x
        -(x^2 + 2x)
        ___________
              -6x + 3
            -(-6x - 12)
            ____________
                   15

Hasil Akhir: Selesai! Angka terakhir yang kita dapatkan (15) adalah sisa pembagian. Sementara polinomial di atas ( $2x^2 + x - 6$ ) adalah hasil bagi.

Jadi, hasil dari $(2x^3 + 5x^2 - 4x + 3) : (x + 2)$ adalah hasil bagi $Q(x) = 2x^2 + x - 6$ dan sisa $S(x) = 15$ . Bisa ditulis juga $2x^3 + 5x^2 - 4x + 3 = (x + 2)(2x^2 + x - 6) + 15$ .

Gimana? Kelihatan panjang tapi ternyata ngikutin pola yang sama terus kan? Kuncinya sabar dan teliti aja, guys!

Contoh Soal Pembagian Suku Banyak Menggunakan Metode Horner

Nah, sekarang giliran metode Horner yang lebih gesit. Ingat, metode ini paling efektif kalau pembaginya berbentuk $(x - k)$ . Di contoh soal pertama tadi, pembaginya adalah $(x+2)$ , yang bisa kita ubah jadi $(x - (-2))$ , jadi $k = -2$ . Cocok banget nih buat dicoba pakai Horner.

Contoh Soal 2:

Bagi suku banyak $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$ dengan suku banyak $D(x) = x + 2$ menggunakan metode Horner.

Langkah-langkah Pengerjaan dengan Metode Horner:

Siapkan 'Skema' Horner: Buat tabel seperti ini. Di pojok kiri atas, tulis nilai $k$ dari pembagi $(x-k)$ . Di baris kedua, tulis koefisien-koefisien dari polinomial yang dibagi (dividend), dari pangkat tertinggi sampai terendah. Pastikan tidak ada pangkat yang terlewat, kalau ada, beri koefisien 0.

Untuk $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$ , koefisiennya adalah 2, 5, -4, 3. Nilai $k$ dari $x+2$ adalah $-2$ .
```
-2 | 2   5   -4   3
   |_____________
     
```
Turunkan Koefisien Pertama: Turunkan koefisien pertama (2) ke bawah garis paling kanan.
```
-2 | 2   5   -4   3
   |_____________
     2
```
Kalikan dan Jumlahkan: Kalikan angka yang baru turun (2) dengan nilai $k$ (-2). Hasilnya adalah $2 * (-2) = -4$ . Tulis hasil ini di bawah koefisien kedua (5).
```
-2 | 2   5   -4   3
   |    -4
   |_____________
     2
```
Kemudian, jumlahkan koefisien kedua (5) dengan angka yang baru ditulis (-4). Hasilnya $5 + (-4) = 1$ . Tulis di bawah garis.
```
-2 | 2   5   -4   3
   |    -4
   |_____________
     2   1
```
Ulangi Proses: Ulangi langkah 3. Kalikan hasil penjumlahan terakhir (1) dengan $k$ (-2). Hasilnya $1 * (-2) = -2$ . Tulis di bawah koefisien ketiga (-4).
```
-2 | 2   5   -4   3
   |    -4   -2
   |_____________
     2   1
```
Jumlahkan koefisien ketiga (-4) dengan angka yang baru ditulis (-2). Hasilnya $-4 + (-2) = -6$ . Tulis di bawah garis.
```
-2 | 2   5   -4   3
   |    -4   -2
   |_____________
     2   1   -6
```
Terakhir: Ulangi lagi. Kalikan hasil penjumlahan terakhir (-6) dengan $k$ (-2). Hasilnya $-6 * (-2) = 12$ . Tulis di bawah koefisien keempat (3).
```
-2 | 2   5   -4   3
   |    -4   -2   12
   |_____________
     2   1   -6
```
Jumlahkan koefisien keempat (3) dengan angka yang baru ditulis (12). Hasilnya $3 + 12 = 15$ . Tulis di bawah garis.
```
-2 | 2   5   -4   3
   |    -4   -2   12
   |_____________
     2   1   -6 | 15
```
Hasil Akhir: Angka paling kanan di baris bawah (15) adalah sisa pembagian. Angka-angka sebelum sisa (2, 1, -6) adalah koefisien dari hasil bagi. Ingat, derajat hasil bagi selalu satu lebih rendah dari polinomial yang dibagi.

Karena polinomial yang dibagi berderajat 3, maka hasil baginya berderajat 2. Koefisiennya adalah 2, 1, dan -6. Jadi, hasil baginya adalah $Q(x) = 2x^2 + 1x - 6$ , atau $2x^2 + x - 6$ . Sisa pembagiannya adalah $S(x) = 15$ .

Sama kan hasilnya dengan metode bersusun? Metode Horner ini emang super efisien kalau pembaginya cocok!

Kapan Menggunakan Metode Mana?

Nah, biar kalian makin mantap, kapan sih enaknya pakai metode yang mana?

Metode Pembagian Bersusun: Ini metode paling umum dan bisa dipakai buat semua jenis pembagian suku banyak, nggak peduli bentuk pembaginya kayak gimana. Cocok buat pemula yang masih belajar konsep dasarnya.
Metode Horner: Seperti yang udah dibahas, metode ini paling top kalau pembaginya berbentuk (x - k) atau (ax - b) (nanti kita bahas triknya kalau $(ax-b)$ ). Cepet, ringkas, dan meminimalisir salah hitung kalau udah ngerti polanya.

Trik Metode Horner untuk Pembagi $(ax - b)$

Gimana kalau pembaginya bukan cuma $(x-k)$ tapi misalnya $(2x-1)$ ? Nah, di sini kita bisa pakai trik.

Misalnya, kita mau bagi $P(x)$ dengan $(2x-1)$ . Pertama, kita bisa ubah pembaginya jadi $2(x - 1/2)$ . Nah, kita pakai $(x - 1/2)$ ini sebagai pembagi di skema Horner, dengan $k = 1/2$ . Kita akan dapat hasil bagi $Q'(x)$ dan sisa $S(x)$ .

Jadi, $P(x) = (x - 1/2) Q'(x) + S(x)$ .

Karena kita mau membagi dengan $(2x-1)$ , kita bisa tulis ulang:

$P(x) = rac{1}{2} (2x - 1) Q'(x) + S(x)$

$P(x) = (2x - 1) rac{Q'(x)}{2} + S(x)$

Artinya, hasil bagi yang sebenarnya adalah $rac{Q'(x)}{2}$ , sementara sisanya tetap $S(x)$ . Jadi, hasil bagi yang didapat dari Horner dibagi 2, dan sisanya tetap.

Contoh Soal 3:

Bagi $P(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 7$ dengan $D(x) = 2x - 1$ .

Kita gunakan Horner dengan pembagi $x - 1/2$ , jadi $k = 1/2$ . Koefisien $P(x)$ adalah 4, -2, 5, -7.

1/2 | 4   -2    5   -7
    |      2    0    5/2
    |-------------------
      4    0    5 | -9/2

Hasil bagi sementara $Q'(x) = 4x^2 + 0x + 5 = 4x^2 + 5$ . Sisa $S(x) = -9/2$ .

Karena pembaginya $(2x-1)$ , kita bagi hasil bagi sementara dengan 2: $Q(x) = rac{4x^2 + 5}{2} = 2x^2 + rac{5}{2}$ .

Sisanya tetap $S(x) = -9/2$ .

Jadi, $4x^3 - 2x^2 + 5x - 7 = (2x - 1)(2x^2 + 5/2) - 9/2$ .

Ini dia triknya, guys! Jangan sampai lupa dibagi koefisien $a$ kalau pembaginya $(ax-b)$ .

Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Selain metode pembagian langsung, ada juga teorema yang bisa bantu kita nyari sisa pembagian atau bahkan ngecek apakah suatu suku banyak bisa dibagi habis sama suku banyak lain. Ini super berguna buat ngehemat waktu!

Teorema Sisa

Teorema Sisa bilang gini: Kalau suku banyak $P(x)$ dibagi dengan $(x-k)$ , maka sisanya adalah $P(k)$ . Gampang banget kan?

Contoh Soal 4:

Tentukan sisa pembagian dari $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$ jika dibagi dengan $(x-2)$ .

Menurut Teorema Sisa, sisanya adalah $P(2)$ . Yuk kita hitung: $P(2) = 3(2)^4 - 2(2)^2 + 5(2) - 1$ $P(2) = 3(16) - 2(4) + 10 - 1$ $P(2) = 48 - 8 + 10 - 1$ $P(2) = 40 + 9$ $P(2) = 49$

Jadi, sisanya adalah 49. Coba bandingin kalau pakai metode Horner atau bersusun, pasti lebih lama kan? Ini bukti kalau teorema itu penting!

Kalau pembaginya $(ax-b)$ , maka $k = b/a$ . Jadi sisanya adalah $P(b/a)$ .

Teorema Faktor

Nah, kalau Teorema Faktor ini kayak 'anak kembar'nya Teorema Sisa. Teorema Faktor menyatakan:

$(x-k)$ adalah faktor dari $P(x)$ jika dan hanya jika $P(k) = 0$ . Artinya, kalau $P(k)=0$ , berarti $P(x)$ habis dibagi $(x-k)$ dan sisanya nol.
Bentuk umumnya, kalau $P(k) = 0$ , maka $x=k$ adalah akar dari persamaan $P(x)=0$ .

Contoh Soal 5:

Tunjukkan bahwa $(x-1)$ adalah faktor dari $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$ .

Kita cek pakai Teorema Faktor. Kalau $(x-1)$ adalah faktor, maka $P(1)$ harus sama dengan 0. $P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + 5(1) - 2$ $P(1) = 1 - 4(1) + 5 - 2$ $P(1) = 1 - 4 + 5 - 2$ $P(1) = -3 + 3$ $P(1) = 0$

Karena $P(1) = 0$ , terbukti bahwa $(x-1)$ adalah faktor dari $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$ .

Ini berarti, kalau kita bagi $P(x)$ dengan $(x-1)$ , sisanya pasti 0. Kita bisa coba pakai Horner:

1 | 1   -4    5   -2
  |      1   -3    2
  |------------------
    1   -3    2 |  0

Hasil baginya adalah $x^2 - 3x + 2$ , dan sisanya 0. Mantap kan!

Kesimpulan

Gimana, guys? Udah mulai tercerahkan soal pembagian suku banyak? Intinya, ada beberapa cara yang bisa kalian pakai: metode bersusun yang klasik tapi pasti, metode Horner yang cepat kalau pembaginya cocok, dan teorema sisa/faktor yang super efisien buat nyari sisa atau ngecek faktor. Setiap metode punya kelebihan dan kekurangannya masing-masing, jadi penting buat kalian ngerti kapan harus pakai yang mana.

Jangan takut salah dalam belajar ya! Coba terus kerjain contoh-contoh soal ini, variasikan angkanya, dan kalau ada yang bingung, jangan ragu buat nanya ke guru atau teman. Semakin sering latihan, semakin jago kalian ngerjain soal-soal matematika yang menantang. Semangat terus belajarnya, kalian pasti bisa!